Introducción

La teoría de conjuntos





 Es una rama de las matemáticas que estudia las apreciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática. 

La teoría de conjuntos como disciplina independiente se atribuye usualmente a Georg Cantor. Comenzando con sus investigaciones sobre conjuntos numéricos, desarrolló un estudio sobre los conjuntos infinitos y sus propiedades. El concepto de conjunto existe desde los primeros años de formación del hombre, si tomamos en consideración una manada de ovejas de distintos colores, podremos representar distintos conjuntos, como distintos colores de ovejas haya en la manada. En el presente Blog nos proponemos presentar el concepto de conjuntos, su expresión, representación gráfica y tipos de conjuntos. 

Conjunto Y Su Expresión

Concepto de conjunto:

Se considera como la reunión o colección de objetos o seres vivos denominados elementos. Los conjuntos se representan con letras mayúsculas del alfabeto o otras simbologías previamente definidas.

Expresión de un conjunto:

Un conjunto puede ser expresado por extensión o comprensión: 

Conjunto por extensión: es cuando se nombra uno a uno los elementos de un conjunto, separado por coma, punto y coma, y entre llaves. 

Ejemplos:

1). A={2,3,5,7,1}

2). P={a,e,i,o,u}

3).B={Duarte, Sánchez, Mella}

Conjunto por comprensión: es cuando entre llaves se coloca una oración en singular encabezada, por x/x o la misma letra de representación del conjunto en minúscula, con las características, cualidades o propiedades de los elementos de un conjunto.

Ejemplos:

1). A= {x/x es un numero primo del 1 al 11}

2). P= {p/p es una vocal del alfabeto castellano}

3).B= {x/x es un padre de la patria Dominicana}

Representación Gráfica de conjuntos

Representación grafía de un conjunto:

Los conjuntos se representan gráficamente con el diagrama de ven o con figuras geométricas planas cerradas.

Ejemplo:

 Dado el siguiente diagrama o gráfica, determine los elementos que son solo de A, solo de A y B, solo de C y Solo de B y D.

Conjunto Universal y Vacío

Conjunto Universal:

Este conjunto está formado por todos los posibles elementos de uno o más conjuntos, este conjunto se representa con un rectángulo, al cual se le coloca una (U) en una de las partes superiores, especialmente en uno de los extremos superiores. 

Expresión:

Ej:

Determine el conjunto universal en cada caso.

A) {1,2,3,4}  y B) {5,6,7,8,9}

U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

B) {a,e,i}

U={a,e,i,o,u}

Conjunto Vacío:

Es aquel que carece de elementos. El conjunto vacío se representa simbólicamente utilizando una de las siguientes expresiones.

A)∅

B){}

Ej:

1. A={x/x es un numero natural negativo}

     A=∅

     A={}

2. B={x/x es una semana con 8 días}

    A=∅

    A={}

Familias de Conjuntos y Conjunto Unitario

La familias de conjuntos:

es el conjunto que esta formado por elementos que a su vez son conjuntos.

Ejemplo:

Dados A:{1,2}, B{3,4,5}, C{5,6,} y D{,7,8}. Determine la familia de conjuntos.

F={A,B,C,D}

Conjunto Unitario:

Es aquel que tiene un solo elemento.

Ej:    B{x/x es el unigénito de Dios}

Conjunto Finito y Infinito

Conjunto Finito:

Es aquel que se le puede determinar su cardinal, esto quiere decir, que se puede determinar el numero de elementos que contiene el conjunto.

Ej: A{x/x es un mes del a;o}

      cardinal (A)=12

Conjunto Infinito:

Es aquel que no se le puede determinar su cardinal, es decir, que no se conoce su ultimo elemento.

Ej: N:{x/x es un numero natural}

Conjunto Potencia

El conjunto potencia es el conjunto que se forma con los elementos del conjunto, las combinaciones entre ellos, el conjunto vacío y el propio conjunto.

Simbología: para representar simbólicamente el conjunto potencia, se utiliza una de las siguientes expresiones. 

A) P(nombre del conjunto)

B) (nombre del conjunto) P

Determinación del numero de elementos de un conjunto potencia.

El numero de elementos de un conjunto potencia se determina con la formula #e=2n, donde #e representa el numero de elementos y la n representa el cardinal o total de elementos del conjunto:

Ej: dado el conjunto A) {1,2,3}, determine el conjunto potencia.

Paso                                        Solo

N= 3                                        #e=2n

                                                #e=2³

                                                #e=8

(A)= { {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{}, A }